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Erstellen von Ljapunow-Diagrammen
Ljapunow-Diagramme
Information
Die Geschichte der Ljapunow-Diagramme (oft auch: Lyapunov geschrieben) beginnt im April 1995 mit einem Artikel von Mario Markus in der Zeitschrift Spektrum der Wissenschaft. In seinem Buch Die Kunst der Mathematik (Verlag Zweitausendeins, Frankfurt 2009, ISBN 978-3-86150-767-3) zeigt Mario Markus die wunderbare Welt der Ljapunow-Diagramme und verwendet dabei auch andere Formeln als die logistische Gleichung.
Mathematik
Als Iterationsformel wählt man zunächst die logistische Gleichung mit einem Parameter r:
xn+1=r*xn*(1-xn).
Für die Konstante r wählt man nun zwei Konstante a und b, die jeweils zwischen 0 und 4 liegen. Die Reihenfolge, mit der sich diese Konstanten abwechseln, wird als Sequenz vorgegeben, z. B. bbaba.
Man benötigt keine komplexen Zahlen, die Punkte auf der Zahlenebene P(b|a) ergeben sich durch die Wahl der Konstanten b und a.
(Ab der Version MatheGrafix 9.5 sind im neuen Formeleditor auch andere Formeln als die logistische Gleichung möglich, zusätzlich kann man eigene Formeln eingeben!)
Für jede Folge berechnet man nun den Ljapunow-Exponenten λ. Dieser Exponent dient als Maß für das chaotische Verhalten einer Folge. Für λ>0 erhält man ein chaotisches System, für λ<0 erhält man ein stabiles System. Entsprechend werden für jedes λ die Pixel zu den Punkten P(b|a) verschieden eingefärbt. Man benötigt zur Berechnung von λ sehr viele Iterationsschritte n, sinnvoll ist sogar eine Warmup-Phase.
Es entstehen Bilder, die an Frakale erinnern, obwohl Ljapunow-Diagramme keine Fraktale im engeren Sinne sind (eine Frage der Fraktal-Dimension).
Tipp: Die Theorie der Ljapunow-Diagramme und des Ljapunow-Exponenten findet man mit einem Klick auf den Button WIKIPEDIA in MatheGrafix. Die auf dieser Seite dargestellten Bilder sind mit MatheGrafix erstellt.
Für die Erstellung eines Ljapunow-Diagramms mit der logistischen Gleichung sind nur drei Vorgaben erforderlich:
- Sequenz: Hier gibt man die eben erwähnte Reihenfolge der Konstanten a und b ein.
- Vorlauf (Schritte): Ohne Berechnung des Ljapunow-Exponenten λ werden in dieser "Warmup-Phase" die Folgeelemente berechnet, damit sich das Verhalten der Folge schon "einpendeln" kann.
- Maximale Schritte n: Die maximale Anzahl der Schritte zur Berechnung des Ljapunow-Exponenten λ wird angegeben.
Im linken Feld des Hauptfensters findet man einige Beispielbuttons. Mit diesen Buttons wählt man eine Sequenz und einen interessanten Bereich aus.
Weitere Beispielbuttons finden sich ab der Version 9.5 im Formeleditor.
