MatheGrafix 12 / Online-Hilfe

Verwenden des Formeleditors für Ljapunow-Diagramme

Der Formeleditor enthält vier Auswahlmöglichkeiten: Logistische Gleichung, Sinus², Sinus² Markus und Eigene Formel. Zahlreiche Beispiele mit Farb- und Größenanpassung findet man im Formeleditor für jede dieser Auswahlmöglichkeiten im Feld Beispiele mit Farbgebung.
Bei vielen Beispielen dient das Buch Die Kunst der Mathematik (Verlag Zweitausendeins, Frankfurt 2009, ISBN 978-3-86150-767-3) von Mario Markus als Vorlage: So bedeutet Markus 121, dass man in diesem Buch unter Bild 121 das gleiche oder wenigstens ein ähnliches Bild (gleiche Formel, ähnlicher Bereich) findet.

Wie unterscheiden sich die vier Auswahlmöglichkeiten?

1. Logistische Gleichung
   Die folgenden Einstellungen kann man auch im linken Hauptfenster von MatheGrafix vornehmen, ohne den Formeleditor zu benötigen!
   • Die logistische Gleichung mit einem Parameter r in x_n+1 = r*x_n*(1-x_n) ist als Iterationsformel vorgegeben.
   • Für den Parameter r wählt man eine Sequenz aus den Zuständen a und b, z. B. bbaba.
   • Der Startwert der Folge x_n+1 ist x_o = 0,5 (vgl. Beispiele).
2. Sinus²
   • Die Sinus-Quadrat-Formel mit einem Parameter r und einer Konstanten b in x_n+1 = b*sin²(x_n+r) ist als Iterationsformel vorgegeben. Die Konstante b kann man direkt in der Formel verändern.
   • Für den Parameter r wählt man eine Sequenz aus den Zuständen a und b, z. B. bbaba.
   • Zusätzlich kann man den Startwert x_o der Folge x_n+1 verändern (vgl. Beispiele).
3. Sinus² Markus
   • Diese komplizierte Sinus-Quadrat-Formel ist allein eine Entdeckung von Mario Markus. Sie enthält einen Parameter r, eine Fallunterscheidung und zahlreiche Konstanten, die man direkt in der Formel verändern kann.
   • Für den Parameter r wählt man eine Sequenz aus den Zuständen a und b, z. B. bbaba.
   • Zusätzlich kann man den Startwert x_o der Folge x_n+1 verändern (vgl. Beispiele).
4. Eigene Formel
   • Hier kann man eigene Iterationsformeln testen, die einen Parameter r enthalten müssen.
   • Zur Berechnung des Ljapunow-Exponenten ist die 1. Ableitung der Iterationsformel erforderlich.
   • Für den Parameter r erstellt man eine Sequenz aus den Zuständen a und b, z. B. bbaba.
   • Zusätzlich kann man den Startwert x_o der Folge x_n+1 verändern (vgl. Beispiele).