Testen: Vorgegebener Ablehnungsbereich

Alte Bauernregel zur Nullhypothese (aus der Mundart)


≤ "Wo ich den Ablehnungsbereich fin',
schaut ja auch mein Zeichen hin!"

Zur Erläuterung: In dieser Aufgabe ist der Ablehnungsbereich rechts, von den Zeichen ≥ und ≤ "schaut" nur das Zeichen ≤ nach rechts: Also hätte der Bauer die Nullhypothese H0:p ≤ 0,5 gewählt.


Aufgabe: Vorgegebener Ablehnungsbereich, Berechnung des Fehlers 1. Art

Bei einem Test werden 25 Fragen gestellt, die mit ja oder mit nein zu beantworten sind. Der Prüfer vermutet, dass sich ein Prüfling nur aufs Raten verlässt. Um seine Vermutung zu testen, greift er zu folgender Entscheidungsregel: Gibt der Prüfling mehr als 15 richtige Antworten an, so geht der Prüfer von seiner Vermutung ab. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, hierbei eine Fehlentscheidung zu treffen?

Lösung
Bestimmung des Signifikanzniveaus mit den Tabellen der Binomialverteilung und mit der Näherungsformel von de Moivre-Laplace:
  • Stichprobenumfang: n = 25
  • Treffer bedeutet: Der Prüfling hat die Frage richtig beantwortet bzw. richtig geraten.
  • Zufallsgröße X: Anzahl der Treffer bzw. der richtig beantworteten Fragen
  • X ist bei wahrer Nullhypothese B25;0,5-verteilt.
  • Die Hypothesen lauten: H0:p ≤ 0,5 (Es wird nur geraten!) und H1:p > 0,5.
    Da große Werte von X gegen H0 sprechen, handelt es sich um einen rechtsseitigen Test. Kleine Werte von X sprechen in diesem Fall eher für H0, daher handelt es sich nicht um einen beidseitigen Test. Dennoch findet man in vielen Lösungsvorschlägen auch H0:p = 0,5.
  • Der Ablehnungsbereich ist vorgegeben mit {16,17,18,...,25}.

  • Bestimmung des Ablehnungsbereichs:
    • Methode 1: Lösung mit den Tabellen der Binomialverteilung

      Bestimmung der zugehörigen Irrtumswahrscheinlichkeit α: Es gilt P(X≥16) = 1-P(X≤15) ≤ α.
      MatheGrafix liefert den exakten Wert α = 11,48%.

      Bild: Diese Darstellung erhält man unter dem Reiter "Binomial.", hierfür benötigt man nicht(!) das Modul "Testen".
      Im Rechenmodul wählt man unter dem Reiter "Binomialverteilung" den Bereich X≥16 aus und liest die Wahrscheinlichkeit 11,48% ab.
      Die Näherung erhält man ohne weitere Eingaben mit einem Wechsel auf den Reiter "Näherungsformel von de Moivre-Laplace" und liest hier die Wahrscheinlichkeit 11,51% ab. Da bei beiden Methoden der Ablehnungsbereich gleich bleibt, benötigt man zur Darstellung kein weiteres Bild.

    • Methode 2: Lösung mit der Näherungsformel von de Moivre-Laplace

      Man berechnet die summierte Wahrscheinlichkeit mit P(X≥16) = 1-P(X≤15) = 1-Φ(1,20) = 0,1151.
      MatheGrafix liefert mit dieser Methode α = 11,51%.

      Bild: Diese Darstellung erhält man unter dem Reiter "Näherungsformel von de Moivre-Laplace", indem man im Feld "Was wird gezeichnet?" ein Häkchen bei "Normalverteilung" und "standardisiert" setzt: Hier kann man den transformierten Wert zrechts = 1,20 ablesen, der die Bereiche trennt und in der Rechnung 1-Φ(1,20) zu finden ist.
Ergebnis: Werden bei 25 Fragen mehr als 15 richtig beantwortet, kann H0 abgelehnt werden: Die Vermutung bzw. Hypothese wird also abgelehnt, dass die Antworten geraten sind!
Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 11,48% (bzw. 11,51% mit Näherung) ist dabei eine Fehlentscheidung möglich.




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