Mandelbrot-Mengen


Mandelbrot-Mengen


Die erste Darstellung des Apfelmännchens auf einem PC gelang 1978. Im Jahr 1980 veröffentlichte Benoît Mandelbrot eine Arbeit über dieses Thema, und nach ihm wurde später die Menge benannt.

Wie kommt man von komplexen Zahlen zu einem Fraktalbild (z. B. zum Apfelmännchen)?

Man untersucht komplexe Zahlenfolgen:
  • Für eine Zahlenfolge benötigt man einen Anfangswert, meist genügt schon der Ursprung z0=0+i*0 (oder in anderer Schreibweise z0(0|0)) als Anfangswert.
  • Dann benötigt man eine Iterationsformel, mit der man aus einer Zahl zn der Folge den Nachfolger zn+1 berechnen kann. Die Formel enthält also eine Variable zn (im Programm: z) und zusätzlich eine Konstante c, beispielsweise ist die einfachste Iterationsformel zn+1=zn²+c.
Wie verhalten sich komplexe Zahlenfolgen?
  • Stellt man die Zahlen einer Zahlenfolge in der komplexen Zahlenebene dar (x-Achse ist die reelle Achse, y-Achse ist die imaginäre Achse), so bleiben manche Zahlenfolgen ab einem bestimmten n in einem Kreis um den Ursprung mit dem Radius b. Diesen Radius nennt man Bailout-Radius b und meistens genügt schon b=2. Man sagt, die Folge ist beschränkt.
  • Verlässt eine Folge dauerhaft diesen Kreis, so divergiert sie und entfernt sich meist sehr schnell vom Ursprung.
Wie erhält man das Bild einer Mandelbrot-Menge, z. B. das Apfelmännchen?
Man nimmt in der Formel für die Konstante c jeden Punkt der komplexen Zahlenebene und untersucht das Verhalten der entsprechenden Zahlenfolge:
  • Bleibt die Folge beschränkt, wird der Pixel im Bild, der zum Punkt c gehört, schwarz eingefärbt. Dieser Punkt gehört zur Mandelbrotmenge und so erhält man das Bild des Apfelmännchens.
  • Divergiert die Folge, wird der dem Punkt c entsprechende Pixel auf dem Bild weiß eingefärbt. Dies ist allerdings bei einem weißen Hintergrund überflüssig.
Natürlich geht die Theorie noch weiter, und es ist noch nicht erklärt, wie man verschiedene Farben erhält. Mit einem Klick auf den entsprechenden Button in MatheGrafix gelangt man unmittelbar zu diesem Thema bei WIKIPEDIA.

Für die Erstellung eines Mandelbrot-Fraktals sind drei Vorgaben erforderlich:


  1. Formel: Sieben im Programm integrierte Iterationsformeln lassen sich vorwählen. Mit einem Formeleditor kann man sogar eigene Formeln erstellen. Man sieht zusätzlich im Formeleditor, welche Formeln sich hinter den Namen verbergen (mit einem Klick auf das Lupensymbol im Eingabefeld des Formeleditors).
    Mit dem Feld invers ändert man die Formel ab: die Konstante c wird durch ihren Kehrwert 1/c ersetzt.
  2. Bailout-Radius b: In der komplexen Zahlenebene wird der Radius b um den Ursprung vorgegeben. Liegt nach einer vorgegebenen Schrittzahl n das n-te Folgeelement noch innerhalb von diesem Radius b, so ist die Folge in den meisten Fällen beschränkt.
  3. Maximale Schritte n: Diese maximale Schrittzahl n wird erreicht, wenn das n-te Folgeelement immer noch im Kreis um den Ursprung mit dem Radius b liegt (beschränkte Folge). Die Konstante c der Folge gehört in diesem Fall zur Mandelbrot-Menge.
    Sollte bei einer Folge ein Folgelement außerhalb des Kreises mit dem Radius b um den Ursprung liegen, bricht der Algorithmus vor dem Erreichen der maximalen Schrittzahl n ab. Die Folge divergiert. Die Konstante c der Folge gehört nicht mehr zur Mandelbrot-Menge.
Im linken Feld des Hauptfensters von MatheGrafix findet man einige Beispielbuttons. Mit diesen Buttons wählt man eine Formel und einen interessanten Bereich aus. Farben und Größe des Bildes werden absichtlich nicht verändert, diese werden nur bei den vollständigen Beispielen verändert (siehe Buttons im rechten Fenster, die eine Art Diashow ermöglichen).

 
Wikipedia

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