Julia-Mengen


Julia-Mengen


Es gibt nur einen Unterschied zwischen Julia-Menge und Mandelbrot-Menge:
  • Bei der Mandelbrotmenge erhält man ja für jede Konstante c eine eigene Zahlenfolge (zur Erinnerung: eine einfache Fraktalformel ist z. B. zn+1=zn²+c). Der Startwert z0 ist für alle Folgen gleich und ist meist der Ursprung z0(0|0. Im Bild wird der Pixel, der zur Konstanten c gehört, entsprechend dem Verhalten der Folge eingefärbt.
  • Bei einer Julia-Menge lässt man die Konstante c für alle Folgen fest. Jetzt verändert man den Startwert z0: Man nimmt als Startwert z0 jeden Punkt der komplexen Zahlenebene. Im Bild wird der Pixel, der zum Startwert z0 gehört, entsprechend dem Verhalten der Folge eingefärbt. Ist die Folge beschränkt, liegt z0 im Innern oder auf dem Rand der Julia-Menge (Bleibt man präzise, so ist die eigentliche Juliamenge dieser Rand).
Auch bei Julia-Mengen findet man den mathematischen und geschichtliche Hintergrund mit einem Klick auf den entsprechenden Button in MatheGrafix bei WIKIPEDIA.


Für die Erstellung eines Julia-Fraktals sind vier Vorgaben erforderlich:


  1. Julia Konstante c: Für das Bild einer Julia-Menge bleibt die Konstante c fest. Man erhält also für jede Konstante c eine andere Julia-Menge bzw. ein anderes Bild! Die Konstante c kann man zwar manuell eingeben, im Modus "Mandelbrot-Menge" kann man eine geignete Julia Konstante c auch interaktiv finden (siehe Video rechts "Interaktiv arbeiten": Julia Konstante).
  2. Formel: Sieben im Programm integrierte Iterationsformeln lassen sich vorwählen. Mit einem Formeleditor lassen sich eigene Formeln erstellen (siehe Video rechts "Fraktale erstellen": Formeleditor).
    Mit dem Feld invers ändert man die Formel ab: die Konstante c wird durch ihren Kehrwert 1/c ersetzt.
  3. Bailout-Radius b: In der komplexen Zahlenebene wird der Radius b um den Ursprung vorgegeben.
  4. Maximale Schritte n: Diese maximale Schrittzahl n wird erreicht, wenn das n-te Folgeelement zn immer noch im Kreis um den Ursprung mit dem Radius b liegt (beschränkte Folge). Der Startwert z0 der Folge gehört in diesem Fall zur Julia-Menge.
    Beispiel: Entsprechend wird bei der Formel z(n+1) = z² + c der Pixel im Bild, der zum Startwert z0 gehört, schwarz eingefärbt.
    Sollte bei einer Folge ein Folgelement außerhalb des Kreises mit dem Radius b um den Ursprung liegen, bricht der Algorithmus vor dem Erreichen der maximalen Schrittzahl n ab. Die Folge divergiert. Der Startwert z0 der Folge gehört nicht mehr zur Julia-Menge.
    Beispiel: Bei der Formel zn+1=zn²+c wird der Pixel im Bild, der zum Startwert z0 gehört, jetzt weiß eingefärbt: So entsteht ein Schwarzweiß-Bild einer Julia-Menge für eine Konstante c.
Im linken Feld des Hauptfensters findet man einige Beispielbuttons. Mit diesen Buttons wählt man eine Formel und einen interessanten Bereich aus, dabei werden Farben und Größe des Bildes absichtlich nicht verändert.

Wie man die Julia Konstante c einer Julia-Menge interaktiv bestimmt, sieht man im Video "Julia Konstante" unter dem Punkt "Interaktiv arbeiten" (siehe rechts).

 
Wikipedia

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ZUM-Wiki

Ausführliche Informationen zum Programm beim ZUM-Wiki mit Materialien

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