Punktfolgen und Attraktoren


Information: Folgen, dynamische Systeme, seltsame Attraktoren

Eine dreidimensionale Zahlenfolge besitzt zunächst einen Startwert (x[0], y[0], z[0]). Das nächste Glied der Folge erhält man durch
  • x[1] = Funktion 1 von x[0], y[0] und z[0],
  • y[1] = Funktion 2 von x[0], y[0] und z[0],
  • z[1] = Funktion 3 von x[0], y[0] und z[0].
Das Verfahren wird entsprechend fortgesetzt.

Dynamische Systeme lassen sich u.a über Differentialgleichungen darstellen, andere dynamische Systeme wiederum lassen sich nur über Folgen darstellen:
  1. Das dynamische System Tinkerbell-Attraktor hat das Bildungsgesetz einer Folge:
    • x[n+1] = x[n]² - y[n]² + a*x[n] + b*y[n],
    • y[n+1] = 2*x[n]*y[n] + c*x[n] + d*y[n],
    mit z.B. den Werten a=0,9, b=-0,6013, c=2,0, d=0,50.
    Ergänzt man nun noch die dritte Dimension mit z.B. z[n+1] = -x[n] + x[n]*y[n], kann man den Tinkerbell-Attraktor räumlich auseinanderziehen.
    Die Punkte ergeben eine Punktwolke. Verbindet man einen Punkt nach dem anderen, erhält man hier keine Kurve.
  2. Im nächsten Kapitel dient als Beispiel der Darstellung über Differentialgleichungen der Lorenz-Attraktor. Die Verbindung der Punkte ist hier eine durchgehende Kurve.
Anmerkung: Man kann dynamische Systeme, die ihren Ursprung in Differentialgleichungen haben, als Kurve, aber natürlich auch als Punktwolke bzw. in der Näherung als Folge darstellen. Dies wird im folgenden Kapitel beim Lorenz-Attraktor erläutert.


Anleitung zur Erstellung von Punktfolgen


Bildungsgesetz der Folge

  • Zum Bildungsgesetz der Folge findet man im Programm einige Beispiele (Information siehe oben).
  • Man kann den Startwert verändern, ebenso die Schritte bzw. die Anzahl der dargestellten Punkte (+1). Mit Vorschritten stellt man ein, wieviele Punkte vom Startwert ausgehend nicht gezeichnet werden.
  • In den Gleichungen der Folge lassen sich bis zu 7 Konstante von a bis g verwenden.
  • Die Darstellung erfolgt über Punkte oder (versuchsweise) deren Verbindungsstrecken.

Farbgebung der Punktwolke

  • Farbmodus einfarbig: Die Punktwolke lässt sich einfarbig darstellen, hierbei kann man im Feld "Farben und Vorlagen" die Farbe frei wählen.
  • Farbmodus Abstand: Der Abstand zwischen zwei Punkten bestimmt die Farbe der Punkte (bzw. der Verbindungsstrecke). Man kann zwei bis vier Farben beliebig einstellen. Beispiele zur Farbgebung findet man im Feld "Farben und Vorlagen".
    Im Feld "Farbverlauf" wählt man unter 6 Formeln, die die Farben auf die Abstände der Punkte verteilen.
  • Farbmodus Ebenen: Trennebenen teilen den Raum in zwei Hälften, in denen sich die Punktwolke getrennt einfärben lässt.

 
Wikipedia

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ZUM-Wiki

Ausführliche Informationen zum Programm beim ZUM-Wiki mit Materialien

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Internet- bibliothek für Schul- mathematik von Herrn Friedrich Buckel

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