Attraktoren


Information: Seltsamer Attraktor

Der Lorenz-Attraktor ist wohl der bekannteste Attraktor, daher soll er hier als Beispiel dienen:

Lorenz beschrieb 1963 ein System 3-dimensionaler Differentialgleichungen mit den Parametern a, b und c:
  • x' = dx/dt = a*( y - x )
  • y' = dy/dt = b*x - y - x*z
  • z' = dz/dt = x*y - c*z
Erst Computergrafik konnte die komplizierten Zusammenhänge zeigen. Das Aufregende war die Interpretation: Erstmals erhielt man ein Modell, mit dem man die Unvorhersagbarkeit des Wetters rational erklären konnte. Das Verhalten des Graphen (seltsamer Attraktor!) ist langfristig nicht vorhersagbar. Geringe Änderungen in den Anfangsbedingungen können völlig verschieden Abläufe bewirken. Lorenz sprach vom "Flügelschlag eines Schmetterlings", der das Wetter beeinflussen kann (Schmetterlingseffekt).

In MatheGrafix wird folgende Möglichkeit verwendet, diese Differentialgleichungen darzustellen:
Man bildet eine Zahlenfolge mit einem 3-dimensionalen Startwert (x[0], y[0], z[0]). Das nächste Glied der Folge erhält man durch
  • x[1] = x[0] + dx = x[0] + x' *dt = x[0] + ( a*( y[0]-x[0] ) )*dt
  • y[1] = y[0] + dy = y[0] + y' *dt = y[0] + ( b*x[0] - y[0] - x[0]*z[0] )*dt
  • z[1] = z[0] + dz = z[0] + z' *dt = z[0] + ( x[0]*y[0] - c*z[0] )*dt.
Das Verfahren wird entsprechend fortgesetzt.
Die typische Parametereinstellung mit chaotischer Lösung lautet: a = 10, b = 28 und c = 8/3.
dt ist eine endliche, aber genügend kleine Größe! So funktioniert dt = 0,01 sehr gut. Wählt man nun in MatheGrafix Punkte, erhält man eine Punktwolke, im anderen Fall werden die Punkte mit Strecken verbunden.


Anleitung zur Erstellung von Attraktoren


Differentialgleichungen

  • Zu Differentialgleichungen findet man im Programm einige Beispiele (Information siehe oben).
  • Da man die Differentialgleichungen über eine Folge darstellt, gibt man den Startwert an, ebenso die Schritte bzw. die Anzahl der dargestellten Punkte (+1). Mit Vorschritten stellt man ein, wieviele Punkte vom Startwert ausgehend nicht gezeichnet werden.
    Mit dem Wert für dt (Theorie siehe oben) muss man ein wenig experimentieren.
  • In den Differntialgleichungen lassen sich bis zu 7 Konstante von a bis g verwenden.
  • Die Darstellung erfolgt über Punkte oder deren Verbindungsstrecken.

Farbgebung der Kurve

  • Farbmodus einfarbig: Die Kurve lässt sich einfarbig darstellen, hierbei kann man im Feld "Farben und Vorlagen" die Farbe frei wählen.
  • Farbmodus Abstand: Der Abstand zwischen zwei Punkten bestimmt die Farbe der Verbindungsstrecke bzw. der Punkte. Man kann zwei bis vier Farben beliebig einstellen. Beispiele zur Farbgebung findet man im Feld "Farben und Vorlagen".
    Im Feld "Farbverlauf" wählt man unter 6 Formeln, die die Farben auf die Abstände der Punkte verteilen.
  • Farbmodus Ebenen: Trennebenen teilen den Raum in zwei Hälften, in denen sich die Kurve getrennt einfärben lässt.

 
Wikipedia

Informationen bei Wikipedia zu Geschichte und Verbreitung des Programms

ZUM-Wiki

Ausführliche Informationen zum Programm beim ZUM-Wiki mit Materialien

Mathe-CD

Internet- bibliothek für Schul- mathematik von Herrn Friedrich Buckel

MatheGrafix, Download bei heise Aktuellste Version bei heise.de:
  • portable Version (ausführbare Datei)
  • Setupdatei (englisch)
  • Setupdatei (deutsch)