Oberflächen mit zwei Parametern

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Information: Flächen mit zwei Parametern

Flächen mit zwei Parametern werden durch drei Funktionen für die x-, y- und z-Auslenkung bestimmt. Die Punkte einer Fläche werden als Funktion zweier Variablen, den Parametern u und v, durchlaufen.

Ein bekanntes Beispiel ist die Parameterdarstellung einer Ebene:
  • x(u,v) = 2 + 4*u - 3*v
  • y(u,v) = 2 + 1*u + 4*v
  • z(u,v) = 1 + 5*u - 2*v
Schränkt man die Parameter u und v ein, z.B. u von 0 bis 1, v von 0 bis 1, erhält man ein Parallelogramm.

Beispiel: Rotationskörper um die x-Achse, z.B. von f(x) = x^2:
  • x(u,v) = [u^2] *sin(v)
  • y(u,v) = u
  • z(u,v) = [u^2] *cos(v)
Man ersetzt also im Funktionsterm x durch u und schreibt ihn in die eckigen Klammern.
Den Bereich von u übernimmt man aus dem Definitionsbereich von f(x), als Bereich von v wählt man das Intervall von 0 bis 2Pi.

Beispiel: Rotationskörper um die y-Achse, z.B. von f(x) = x^2:
  • x(u,v) = u*sin(v)
  • y(u,v) = u*cos(v)
  • z(u,v) = u^2
Man ersetzt also im Funktionsterm x durch u und schreibt ihn in die Zeile von z(u,v).
Den Bereich von u übernimmt man aus dem Definitionsbereich von f(x), als Bereich von v wählt man das Intervall von 0 bis 2Pi.

Beispiel: 3D-Oberflächenplot, z.B. von f(x,y) = 1/(x^2+y^2):
  • x(u,v) = u
  • y(u,v) = v
  • z(u,v) = 1/(u^2+v^2)
Man ersetzt also im Funktionsterm x durch u und y durch v, dann schreibt man ihn in die Zeile von z(u,v).
Eine wesentlich schönere Darstellung von Oberflächenplots erhält man im Modul 3D-Funktionen.

Im Programm findet man weitere Beispiele: Torus, Kleinsche Flasche, Möbiusband und eine Universalformel, mit der sich Schneckenhäuser und Muscheln darstellen lassen.


Anleitung zur Erstellung von Flächen mit zwei Parametern


Parametergleichungen

  • Zu Parametergleichungen mit zwei Parametern u und v findet man im Programm einige Beispiele (Information siehe oben).
  • Man kann die Bereiche der Parameter u und v verändern, ebenso die Anzahl der Schritte für diese Bereiche.
  • In den Parametergleichungen lassen sich bis zu 7 Konstante von a bis g verwenden.
  • Die Darstellung erfolgt über Punkte oder deren Verbindungsstrecken, so entsteht ein Oberflächengitter.

Farbgebung des Oberflächengitters

  • Farbmodus einfarbig: Das Oberflächengitter lässt sich einfarbig darstellen, hierbei kann man im Feld "Farben und Vorlagen" die Farbe frei wählen.
  • Farbmodus Abstand u: Der Abstand zwischen zwei Punkten in "Richtung" von u bestimmt die Farbe der Verbindungsstrecke bzw. der Punkte. Man kann zwei bis vier Farben beliebig einstellen. Beispiele zur Farbgebung findet man im Feld "Farben und Vorlagen".
    Im Feld "Farbverlauf" wählt man unter 6 Formeln, die die Farben auf die Abstände der Punkte verteilen.
  • Farbmodus Abstand v: Hier bestimmt der Abstand zwischen zwei Punkten in "Richtung" von v die Farbe der Verbindungsstrecke bzw. der Punkte.

 
Wikipedia

Informationen bei Wikipedia zu Geschichte und Verbreitung des Programms

ZUM-Wiki

Ausführliche Informationen zum Programm beim ZUM-Wiki mit Materialien

Mathe-CD

Internet- bibliothek für Schul- mathematik von Herrn Friedrich Buckel

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  • Setupdatei (deutsch)